摘要:向量自回归(VAR)模型的一般缺点是,估计系数的数量与滞后的数量成比例地增加。因此,随着滞后次数的增加,每个参数可用的信息较少。在贝叶斯VAR文献中,减轻这种所谓的维数诅咒的一种方法是随机搜索变量选择(SSVS),由George等人提出(2008)。
一 介绍
SSVS的基本思想是将通常使用的先验方差分配给应包含在模型中的参数,将不相关参数的先验方差接近零。这样,通常就可以估算出相关参数,并且无关变量的后验值接近于零,因此它们对预测和冲激响应没有显着影响。这是通过在模型之前添加层次结构来实现的,其中在采样算法的每个步骤中评估变量的相关性。
这篇文章介绍了使用SSVS估计贝叶斯向量自回归(BVAR)模型。它使用Lütkepohl(2007)的数据集E1,其中包含有关1960Q1至1982Q4十亿德国马克的西德固定投资,可支配收入和消费支出的数据。加载数据并生成数据:
library(bvartools) # install．packages("bvartools")# Load and transform datadata("e1")e1 <- diff(log(e1))# Generate VARdata <- gen_var(e1, p = 4, deterministic = "const")# Get data matricesy <- data$Y[, 1:71]x <- data$Z[, 1:71]
二 估算值
根据George等人所述的半自动方法来设置参数的先验方差(2008)。对于所有变量,先验包含概率设置为0．5。误差方差-协方差矩阵的先验信息不足。
# Reset random number generator for reproducibilityset．seed(1234567)t <- ncol(y) # Number of observationsk <- nrow(y) # Number of endogenous variablesm <- k * nrow(x) # Number of estimated coefficients# Coefficient priorsa_mu_prior <- matrix(0, m) # Vector of prior means# SSVS priors (semiautomatic approach)ols <- tcrossprod(y, x) %*% solve(tcrossprod(x)) # OLS estimatessigma_ols <- tcrossprod(y - ols %*% x) / (t - nrow(x)) # OLS error covariance matrixcov_ols <- kronecker(solve(tcrossprod(x)), sigma_ols)se_ols <- matrix(sqrt(diag(cov_ols))) # OLS standard errorstau0 <- se_ols * 0．1 # Prior if excludedtau1 <- se_ols * 10 # Prior if included# Prior for inclusion parameterprob_prior <- matrix(0．5, m)# Prior for variance-covariance matrixu_sigma_df_prior <- 0 # Prior degrees of freedomu_sigma_scale_prior <- diag(0, k) # Prior covariance matrixu_sigma_df_post <- t + u_sigma_df_prior # Posterior degrees of freedom
初始参数值设置为零,这意味着在Gibbs采样器的第一步中应相对自由地估算所有参数。
可以直接将SSVS添加到VAR模型的标准Gibbs采样器算法中。在此示例中,常数项从SSVS中排除,这可以通过指定来实现include = 1:36。
具有SSVS的Gibbs采样器的输出可以用通常的方式进一步分析。因此,可以通过计算参数的绘制方式获得点估计:
## invest income cons## invest．1 -0．102 0．011 -0．002## income．1 0．044 -0．031 0．168## cons．1 0．074 0．140 -0．287## invest．2 -0．013 0．002 0．004## income．2 0．015 0．004 0．315## cons．2 0．027 -0．001 0．006## invest．3 0．033 0．000 0．000## income．3 -0．008 0．021 0．013## cons．3 -0．043 0．007 0．019## invest．4 0．250 0．001 -0．005## income．4 -0．064 -0．010 0．025## cons．4 -0．023 0．001 0．000## const 0．014 0．017 0．014
还可以通过计算变量的均值来获得每个变量的后验概率。从下面的输出中可以看出,在VAR(4)模型中似乎只有几个变量是相关的。常数项的概率为100%,因为它们已从SSVS中排除。
## invest income cons## invest．1 0．43 0．23 0．10## income．1 0．10 0．18 0．67## cons．1 0．11 0．40 0．77## invest．2 0．11 0．09 0．14## income．2 0．08 0．07 0．98## cons．2 0．07 0．06 0．08## invest．3 0．19 0．07 0．06## income．3 0．06 0．13 0．10## cons．3 0．09 0．07 0．12## invest．4 0．78 0．09 0．16## income．4 0．13 0．09 0．18## cons．4 0．09 0．07 0．06## const 1．00 1．00 1．00
给定这些值,研究人员可以按照常规方式进行操作,并根据Gibbs采样器的输出获得预测和脉冲响应。这种方法的优势在于它不仅考虑了参数不确定性,而且还考虑了模型不确定性。这可以通过系数的直方图来说明,该直方图描述了收入的第一个滞后项与消费当前值之间的关系。
hist(draws_a[6,], main = "Consumption ～ First lag of income", xlab = "Value of posterior draw")
通过两个峰描述模型不确定性,并通过右峰在它们周围的散布来描述参数不确定性。
但是,如果研究人员不希望使用模型,变量的相关性可能会从采样算法的一个步骤更改为另一个步骤,那么另一种方法将是仅使用高概率的模型。这可以通过进一步的模拟来完成,在该模拟中,对于不相关的变量使用非常严格的先验,而对于相关参数则使用没有信息的先验。
后方抽取的均值类似于Lütkepohl(2007,5．2．10节)中的OLS估计值:
## invest income cons## invest．1 -0．219 0．001 -0．001## income．1 0．000 0．000 0．262## cons．1 0．000 0．238 -0．334## invest．2 0．000 0．000 0．001## income．2 0．000 0．000 0．329## cons．2 0．000 0．000 0．000## invest．3 0．000 0．000 0．000## income．3 0．000 0．000 0．000## cons．3 0．000 0．000 0．000## invest．4 0．328 0．000 -0．001## income．4 0．000 0．000 0．000## cons．4 0．000 0．000 0．000## const 0．015 0．015 0．014
三 评价
bvar功能可用于将Gibbs采样器的相关输出收集到标准化对象中,例如predict获得预测或irf进行脉冲响应分析。
bvar_est <- thin(bvar_est, thin = 5)
预测
可以使用函数获得可信区间的预测predict。
plot(bvar_pred)
四 脉冲响应分析
plot(OIR, main = "Orthogonalised Impulse Response", xlab = "Period", ylab = "Response")
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